穿墙术的概率与甲骨文表达 ——伯凡杂谈 14

日期：04-07 点击：32 属于：伯凡杂谈

2025年的诺贝尔物理学奖确实伟大，它实现了宏观领域的量子隧穿。科技不断突破，2026年初，奥地利维也纳大学的教授再下一城，让一个8纳米的金属小球实现了量子叠加态。量子力学从微观渗透到宏观，但量子穿墙还是小概率事件，我们用甲骨文画出隧穿示意图，看看概率有多小。

（甲骨文表达的量子隧穿图，①②③为隧穿的三个区域）
人向墙投掷小球，在宏观领域，如果扔一个乒乓球，那是不可能穿过墙体的，因为人提供的能量远远小于墙壁势垒的阻碍能量，这是我们的常识；但如果扔一个电子，那结果就完全不同了，人给电子提供的能量虽然比墙的势垒能量小得多，但是电子的波粒二象性决定了，它有概率能隧穿墙体。
我们插播一条甲骨文学习视频，图中的障碍是“片”字。“片”的形像是将“木”字从中间劈成两半，和。左边为“爿”（chuáng），右边为片。《说文解字》曰“片，判木也。从半木。凡片之属皆从片”，翻译为白话文为“片，被劈开的木块。字形采用半个‘木’的指事方法。所有与片相关的字，都采用‘片’作边旁。”字形流变如下图：

古人造字很形象，木头一分为二为片，片之又片，就越来越薄，而壁垒的厚度越薄，其势垒的阻碍能量就越小，量子的隧穿概率就越大。那么隧穿的概率到底怎么算呢？
大家可能首先想到了“十太保”薛定谔的那个方程式，但是隧穿本质是粒子穿越势垒的透射系数，而薛的方程只能描述量子系统的波函数演化，所以不能直接通过薛的方程求导隧穿概率。可以通过求解薛的方程，结合量子在势垒左边区域①、势垒内部区域②、势垒外部也就是右边区域③的不同边界条件，推导出透射系数（即隧穿概率）。这个模型中要用到定态薛定谔方程：Hψ(r)=Eψ(r) 其中：H=−ℏ22m∇2+V(r）是哈密顿算符（动能 + 势能），E是粒子能量，V(r）是势垒势能，ψ(r）是波函数。
从概率上讲，量子要么穿不过势垒被反射回来，反射系数为R；要么穿过势垒，透射过去，我们称之为透射系数T。这两个事件的概率相加为100%，即R+T=1。粒子在空间某点出现的概率密度为|ψ(r)|2=ψ∗(r)ψ(r）（其中：ψ∗是波函数的复共轭）。接下来就可以求导隧穿概率了：

第一步：建立势垒模型
假设粒子沿x轴运动，势垒分为三个区域（如图）：
1. 区域①：x<0，也就是粒子处于势垒左侧，粒子能量E小于势垒能量V0，就不能穿过势垒“片”，只能反射回去。
2.区域②：0≤x≤a，也就是粒子正好处于势垒内部，这时候粒子能量E恰巧等于势垒能量V0 ，粒子处于“片”内部。
3.区域③：x>a，也就是粒子完成了隧穿，穿过了势垒“片”。
第二步：求解各区域的定态薛定谔方程
需要定态薛定谔方程，其在一维下可以简化为：
d2ψdx2+2mℏ2[E−V(x)]ψ=0
而后求导①②③区域的波函数。
第三步：应用边界条件（波函数的连续性）
粒子的位置x，除了x < 0时发生反射，0＜x＜a在“片”的势垒内部，x > a透射，三种情况外，还可能处于0或者a的边界位置，也就是x=0或x=a。
量子力学要求：波函数ψ(x）及其一阶导数ψ'(x）在势垒边界（x=0和x=a）连续（保证概率密度和概率流连续）。
（1）x=0处（区域①与②交界）
波函数连续：ψ1(0)=ψ2(0)⇒A+B=D；
导数连续：ψ1'(0)=ψ2'(0)⇒ik(A−B)=−κD。
（2）x=a处（区域②与③交界）
波函数连续：ψ2(a)=ψ3(a)⇒De−κa=Ceika；
导数连续：ψ2'(a)=ψ3'(a)⇒−κDe−κa=ikCeika。
第四步：推导透射系数T（隧穿概率）
透射系数定义为透射波的概率流密度与入射波的概率流密度之比（概率流密度描述粒子的“流动速率”，与|ψ|2⋅v成正比，v是粒子速度）。通过边界条件联立求解振幅A、B、C、D，最终得到矩形势垒的透射系数如下：
T≈16E(V0−E)V02e−2κa
核心结论：隧穿概率T与势垒“片”厚度a、高度，以及粒子能量E、质量m直接相关。即：1.势垒“片”越薄（a越小），T越大，所以把木头“片”越多次，隧穿概率越大，穿过一张薄膜比穿过装甲的概率高得多。2.势垒高度V0越大，T越小。通过衰减系数κ影响隧穿概率，V0越大，κ越大，隧穿概率T越低。3.粒子能量E越高，隧穿概率T越大。当V0固定时，E越大，V0−E越小，κ越小，T越大。4.质量m越大，隧穿概率T越小。从κ的公式可见，m越大，κ越大，指数项e−2κa衰减越快，T越小。这就解释了为什么宏观物体穿墙那么难，因为宏观物体的质量都太大。
人类穿墙到底有多难呢？答案是从宇宙诞生到现在你还没有成功过！代入公式，假设一切条件都normal，如果你每秒撞墙1次，大概需要10^36（次）才能成功一次。这是什么概念呢？宇宙年龄是138亿岁（数量级为10^17秒），如果你从宇宙诞生开始每秒撞墙一次，到今天大概还差10^19个量级单位。所以理论上人是可以穿墙的，但是这个概率极小极小。
来古北，见自己，观自在。我是伯凡，欢迎来古北水镇和我一起参悟生活之美，小黄车为您准备了优惠链接。这一期一起分享了宏观隧穿是小概率事件，下一期与您探讨宏观世界的量子纠缠——心灵感应。
（作者：伯凡；施雅馨）

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